4．最大公约数
课题一：求两个数的最大公约数
设计意图：在设计的时候我想要引导学生学会看书，学会咬文嚼字，比如书上是这样写的：求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来。在品味这段话时，有些学生会注意到“一般”这两个字，从而提出“为什么一般用这两个数公有的质因数连续去除，不用质因数去除行不行?”，教师可以引导他们通过向别人求教、上网查资料等方式，自己得出答案，即不用公有的质因数去除也行，也可用公有的合数去除，不过习惯上用两个数公有的质因数去除。解决这个问题之后，学生就会觉得数学语言是非常严谨的，一字一句均需斟酌。
教学要求 ①使学生理解公约数、最大公约数、互质数的概念。②使学生初步掌握求两个数最大公约数的一般方法。③培养学生抽象、概括的能力和动手实际操作的能力。
教学重点 理解公约数、最大公约数、互质数的概念。
教学难点 理解并掌握求两个数的最大公约数的一般方法。
教学用具 投影仪等。
教学过程
一、创设情境
填空：①12÷3=4，所以12能被4（ ）。4能（ ）12，12是3的（ ），3是12的（ ）。②把18和30分解质因数是 ，它们公有的质因数是（ ）。③10的约数有（ ）。
二、揭示课题
我们已经学会求一个数的约数，现在来看两个数的约数。
三、探索研究
1．小组合作学习
（1）找出8、12的约数来。
（2）观察并回答。
①有无相同的约数？各是几？
②1、2、4是8和12的什么？
③其中最大的一个是几？知道叫什么吗？
（3）归纳并板书
①8和12公有的约数是：1、2、4，其中最大的一个是4。
②还可以用下图来表示。
8 1 3
2 4 6 12
8 和12 的公约数
（4）抽象、概括。
①你能说说什么是公约数、最大公约数吗？
②指导学生看教材第66页里有关公约数、最大公约数的概念。
（5）尝试练习。
做教材第67页上面的“做一做”的第1题。
2．学习互质数的概念
（1）找出下列各组数的公约数来：5和7 8和9 12和25 1和9
（2）这几组数的公约数有什么特点？
（3）这几组数中的两个数叫做什么？（看书67页）
（4）质数和互质数有什么不同？（使学生明确：质数是一个数，而互质数是两个数的关系）
3．学习例2
（1）出示例2并说明：我们通常用分解质因数的方法来求两个数的最大公约数。
（2）复习的第2题，我们已将18和30分解质因数（如后） 18=2×3×3 30=2×3×5
（3）观察、分析。
①从18和30分解质因数的式子中，你能看出18和30各有哪些约数吗？
②18和30的公约数就必须包含18和30公有的什么？
③18和30公有的质因数有哪些？
④18和30的公约数和最大公约数是哪些？（1、2、3、6（2×3））
⑤最大公约数6是怎样得出来的？
（4）归纳板书。
18和30的最大公约数6是这两个数全部公有质因数的乘积。
（5）求最大公约数的一般书写格式。
为了简便，我们把两个短除式合并成一个如： 18 30
让学生分组讨论合并后该怎样做？
①每次用什么作除数去除？
②一直除到什么时候为止？
③再怎样做就可以求出最大公约数？
④为什么不把商也连乘进去？
（6）尝试练习。
做教材第68页的“做一做”，学生独立解答后点几名学生讲每步是怎样做的，最后集体订正。
（7）抽象概括求最大公约数的方法。
①谁能说说求最大公约数的方法。
②引导学生看教材第68页求两个数的最大公约数的方法。
四、课堂实践
做练习十四的1、2、3题。
五、课堂小结
学生总结今天学习的内容。
六、课堂作业
1．做练习十四的第4题。
2．做练习十四的12*题。
课后反思：教学"求最大公约数"，课本共安排了三个例题及一个"做一做"，教学时，当教师向学生介绍完用短除法求两个数的最大公约数之后，让学生讨论质疑其它二例时，学生A就提出："两个数的最大公约数也就是这两个数的差。"教师问："有什么根据？"学生回答说："按照课本的三个例题：12和18的最大公约数是6；90和72的最大公约数是18；24、36和48的最大公约数是12；'做一做'40，60和80的最大公约数是20。"还真是呀！学生们很惊讶，教师了解到学生错误结论的由来，但不急于指出学生的错误，首先肯定了学生善于观察和思考的精神，接着又向学生指出："是巧合呢，还是真有这样的规律存在呢？"学生为了验证，纷纷举例演算，就连平时较少开动脑筋的学生，也算得很起劲。过了一会，小B第一个发现象36和28，90和68的最大公约数就不是它们的差。教师又及时把这一信息交给学生，学生的研究热情被激发起来，课堂气氛异常活跃。下课了，大家的讨论还在继续着，并且乐此不疲。他们为了探求"规律"，愉快地做了几十道求最大公约数的练习，牢固地掌握了知识。在教师创设的途径中，学生品尝到成功的喜悦，更激发了他们探求知识，孜孜以求，为学业成功更努力学习。
课题二：两种特殊情况的最大公约数
设计意图：教学实践告诉我们，教学的成败，学生的学习效果如何，在很大程度上取决于学生的参与程度。教师的全部劳动，归根到底就是为了学生的主动学习。因此，激发学生的参与意识，让学习成为学生发自内心的需要，让课堂成为学生获取知识的乐园是我们每位教师应努力的方向。还有对学生的评价，包罗万象，既有对学习方法的评价，又有对学习情感的评价，也有对自己的鞭策鼓励。这样的评价，教师只需适当点拨、启发，便能让学生在被他人肯定的同时得到极大的满足感，增强学生主动参与探究的自信心，从而把主动探究学习作为自己学习生活中的第一乐趣。这节课我在设计上注重这两点，来设计和展开教学。
教学要求 在知道两数特殊关系的基础上，使学生学会用不同的方法求两个数的最大公约数，培养学生的观察能力。
教学重点 掌握求两个数的最大公约数的方法。
教学难点 正确、熟练地求出两种特殊情况的最大公约数。
教学过程
一、创设情境
1、思考并回答：①什么是公约数，什么是最大公约数？②什么是互质数？质数与互质数有什么区别？（回答后做练习十四的第5题）
2、求30和70的最大公约数？
3、说说下面每组中的两个数有什么关系？
7和21 8和15
二、揭示课题
我们已经学会求两个数的最大公约数，这节课我们继续学习求这两种特殊情况的最大公约数（板书课题）
三、探索研究
1．教学例3
（1）求出下列几组数的最大公约数：7和21 8和15 42和14 17和19
（2）观察结果：通过求这几组数的最大公约数，你发现了什么？
（3）归纳方法：先让学生讲，再指导学生看教材第69页的结论。
（4）尝试练习。
做教材第69页的“做一做”，学生独立做后由学生讲评，集体订正。
四、课堂实践
1．做练习十四的第7题，学生独立观察看哪几组数是第一种特殊情况，哪几组数是第二种特殊情况，再解答出来。
2．做练习十四的第6题，先让学生独立作出判断后再让学生讲明判断的理由。
3．做练习十四的第9题，学生口答集体订正。
五、课堂小结
学生小结今天学习的内容、方法。
六、课堂作业
1、做练习十四的第8、10、11题。
2、有兴趣、有余力的同学可做练习十四的第13*题和思考题。
课后反思：有的数学问题比较复杂，光靠个人的学习，在短时间内达不到好的效果时，教学时，我让学生前后桌组成四人小组，小组中搭配上、中、下三类学生，由一位优等生任组长，组织组内同学讨论如下问题：（1）、一个数的约数与这个数的质因数有什么联系?（2）、两个数的公约数与这两个数公有的质因数有什么联系?（3）、怎样求两个数的最大公约数?我们知道“最大公约数”一课最难理解的就是其算理，我也尝试过多种不同的教学组织形式，但无论是老师讲解还是学生看书，给学生的感觉大多是：太难懂了，算了吧！这时，何不让学生讨论讨论，让他们把自己的想法在组内说说？俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮。这样，不仅保证了全班同学的全员参与，使每位同学都有了发表自己见解的机会；而且通过小组之间的交流、启发、讨论、总结，学生的思路被打开了，想法在逐步完善着，学生个人对最大公约数算理的理解都会有不同幅度的提升；学生的归纳、推理、判断等能力也在这里得到提高；学生的合作意识，团结协作的精神也在不断增强；当自己的意见被采纳时，学生也在尽情地享受着交流成功的乐趣。如果学生能把学习当成一件“美差”去做，这不正是我们最想看到的吗？
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