一、典型案例分析
（一）探索图象变换的规律
在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足。如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：
根据f(x)=-x2+7x-6的图象(图1)，探索y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象变换规律。
按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：
由f(x)图象“保上方，下翻上”得|f(x)|的图象(图2)；
由f(x)图象“保右方，擦左方，右翻左”得f(|x|)的图象(图3)。
由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高。
现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，再与y=f(x)图象进行比较：
学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系。这时，有的学生又输入了其它一些解析式进行探索。通过观察、比较，似乎发现了一些规律，只是缺乏概括总结。此时，教师不失时机提出：如果不用图形计算器，已知f(x)=(x-1)2-2分别作出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，并与y=f(x)的图象进行比较，总结变换规律。
这一猜想过程必须让学生经历，并且留充分的时间让学生去想去猜，通过互相交流，引起争论后，再让学生用图形计算器验证猜想是否正确。
通过一看二猜三验证的过程，发现了图象变换的规律，并对函数的三种表示方法的优缺点作了总结，这实际上让学生经历了观察、实验、猜想、验证、得出结论等这一探索规律的全过程。这说明图形计算器只要使用得当，是可以帮助学生学习的。
(二) 探究两图象交点问题
学习完反函数概念和性质后，教师给出问题：
利用图形计算器，在直角坐标系中先作出函数的图象(图4)，然后作出函数y=b的图象，通过改变b的值，上下移动函数y=b的图象(图5)，观察它与函数的图象的交点个数，并加以论证。
拿到问题后，学生用图形计算器画出了的图象(图4)，并利用轨迹追踪功能得到：当x=1时,ymax=1; 当x=-1时,ymin=-1，由此观察到：
当b=±1时，与y=b有一个交点；
当-1<b<1时，与y=b有两个交点；
当b<-1或b>1时，与y=b没有交点。
学生对b=0没有考虑到，这时，教师是把结论直接告诉学生，还是让学生自己去发现问题呢？
教师接下来从方程的角度去引导学生思考问题：
与y=0.5图象有两个交点(x1 ,0.5),(x2 ,0.5),从方程的角度看，x1 ,x2应是哪个方程的两根？讨论与y=0.5的交点问题实质上是讨论哪个方程根的情况？
通过引导，学生得出如下结论：
与y=b联立消去y得，则 bx2-2x+b=0，
若x1 ,x2是方程的两根，则(x1 ,b)，(x2 , b)就是与y=b两图象交点。
若△=0，则b=±1,方程有两个相等的实数根；
若△>0，则-1<b<1,方程有两个不相等的实数根；
若△<0，则b<-1或b>1,方程没有实数根。
同学们发现，这个结论与刚才观察图象得出的结论是一样的，说明两函数图象交点问题可以用方程根的问题来刻画，从而让学生在动手实践、观察思考中体会了数形结合的思想。
此时，教师再提醒学生思考，以上推理有无疏漏？观察图象，检查有一个交点时，b的取值范围究竟是什么？
这时，有学生发现b=0时，两图象只有一个交点。从方程角度又如何理解呢？
对于方程bx2-2x+b=0，当b=0时，为一次方程，有一个根。因此,结论应修正为：
当b=-1,0,1时，与y=b图象有一个交点；
当-1<b<1且b10时，与y=b图象有两个交点；
当b<-1或b>1时，与y=b图象没有交点。
至此，学生领悟了函数与方程间的内在联系。运用图形计算器作图观察、猜想，实现了函数的多元联系表示，从方程角度论证了猜想，并对疏漏进行了修正。
正当笔者准备总结时，一学生举手示意，原来他把刚才探究的函数变形为yx2-2x+y=0，解出，改写x，y得。他将两个解析式输入图形计算器，问：“老师，这是不是函数的反函数图象？反函数怎么会有两个？” (图6)
笔者感到既意外又惊喜：我事先并未从反函数角度去设计问题，学生提出这个问题，我感到意外；令我惊喜的是，而此问题的解决有助于学生更进一步理解函数与反函数的概念，何乐而不为呢？借助图形计算器，学生自己提出了问题，这不正是教师所期望的吗？我并未急于回答他的问题，而是鼓励他自己或与他人合作探索这个问题。
（三）一个富有挑战性的问题
笔者曾在课外活动时间留给高一学生这样一个富有挑战性的问题：
用图形计算器探索：y=x3-ax在[1，+)上单调递增，求a的取值范围。
按常规教学，这个问题只有到高三学习了导数之后，用导数知识求解，而对高一学生而言，似乎不具备解决问题的能力。
情况真是这样吗？笔者也在怀疑。
在问题公布出去的第二天，就有一位女同学拿着她的研究报告找到了我。她的基本思路是：取a=-2,-1,0,1,2,3,4,5,通过图形计算器作出图象进行观察，利用轨迹跟踪功能，猜想a3.
证明如下：设1x1< x2 ,
f(x1)- f (x2)= x13-a x1-x23+a x2= x13- x23-a (x1- x2)
=(x1-x2)(x12+ x1x2+ x22-a)
由于x1<x2 , x1-x2<0，又1x1< x2 , x12+ x1x2+ x2233
又f (x)=x3-ax在[1，+)上单调递增,故f (x1)-f(x2)<0,
而x1- x2<0 , x12+ x1x2+ x22-a>0 ,即a< x12+ x1x2+ x22,
又x12+x1x2+x223， a3。
没想到在图形计算器的帮助下，有同学居然解决了此问题。数学也需要实验，而图形计算器正是搭建实验的平台。对教学内容适度深化，提出挑战性的问题，运用图形计算器引导学生提出问题、发现问题、解决问题，这对激发学生求知欲、发展探究问题的能力、丰富学生的认知结构大有帮助。