从最简情形出专题辅导

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从最简情形出发
周奕生
当问题比较复杂，感到困难，不易下手时，就可以适当地“退”，甚至可“退”到最简单的情形，然后由此出发去分析，可能会巧妙地突破，请看
例1 甲乙两人轮流在圆形桌面上玩摆硬币游戏，规定硬币大小相同，不能重叠，谁摆下最后一枚谁获胜。你知道获胜的策略吗？
分析：一个大大的圆桌究竟可以容下多少枚小小的硬币呢？这是多数解答者面临的困境之一。但如果告诉你圆形的桌面很小，小到和硬币一样小，或者告诉你硬币很大，大到和圆形桌面一样大，这时应该说连三岁的小孩都知道先摆的人获胜。事实上也是如此。不论桌面和硬币的大小如何，先摆者只要将第一枚放在正中央，接下来只要后摆者能摆下一枚，先摆者也总可以摆下一枚，这是由于圆是中心对称图形，对于每确定的一个点，总存在一个关于圆心对称的点。因此，先摆者获胜。
象上述这种思考问题的方法我们称为简约思维法，简约思维法实际上就是将繁杂问题的背景简单化，将一般问题特殊化。再看以下几例。
例2 某录像厅原门票一张6元，降价后平均每场的观众可以增加3倍，收入增加了2倍，问每张门票降价多少元？
分析 按一般的思路求解的方法大多是：设门票降价x元，原有观众a人，则原收入6a元，降价后收入4a（6－x）元，依题意，得
4a（6－x）=18a，解得x=1.5
因此，降价1.5元。
现在我们问题的背景简化为：原来的观众只有一人，则原收入6元，降价后观众有4人，收入18元，因此，降价后的门票价格是每张4.5元，降价了1.5元。
例3 四只蚂蚁分别从正方形的四个顶点同时沿正方形的边爬行，如果它们的速度相同，那么这四只蚂蚁不相撞的概率是多少？
分析：许多人的解法是：将每只蚂蚁可能爬行的方向（顺时针和逆时针）一一罗列出来，然后确定不相撞的情形（都按顺时针或逆时针方向爬行）求解。而事实上，我们可以先确定第一只蚂蚁爬行的方向，为了不相撞，其余三只蚂蚁爬行的方向必须与第一只相同，而每只蚂蚁爬行方向与第一只相同的概率都是 ，因此，三只蚂蚁爬行与第一只都相同的概率是 ，这就是四只蚂蚁不相撞的概率。
例4 某船拖一橡皮筏沿江逆流而上，在A处由于绳子断开，橡皮筏顺流漂走了10分钟后船上的人才知道，立即掉头追赶。假设船掉头的时间忽略不计，问需要多少分钟才能追上？
分析：许多解题者一见到这个题目都认为题设条件似乎不足，一旦确定题目无误后采用的解法大多是运用“设而不求”法，即设船在静水中的速度为a，水流的速度为b等等。而事实上题目并没有告诉我们水流速度如何如何，我们完全可以假定水是静止的，这样问题岂不是很简单了吗？
在水为静止的前提下，绳子断开后橡皮筏也是静止的，始终呆在A处，船是在静水中行驶，往返的速度相同，行驶的距离也是相同的，因此，船离开A处和返回到A处的时间相同，也是10分钟，故船需要10分钟才能追上橡皮筏。