4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）
（一）教学具准备
直尺，投影仪．
（二）教学目标
1．掌握
，
的定义域、值域、最值、单调区间．
2．会求含有
、
的三角式的定义域．
（三）教学过程
1．设置情境
研究函数就是要讨论一些性质，
，
是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．
2．探索研究
师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．
师：很好，今天我们就来探索
，
两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）
师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．
师：请同学思考以下几个问题：
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）他们最值情况如何？
（4）他们的正负值区间如何分？
（5）
的解集如何？
师生一起归纳得出：
（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是
．
（2）正弦函数、余弦函数的值域都是
即
，
，称为正弦函数、余弦函数的有界性．
（3）取最大值、最小值情况：
正弦函数
，当
）函数值
取最大值1，当
时，（
）函数值
取最小值－1．
余弦函数
，当
，（
）时，函数值
取最大值1，当
，（
）时，函数值
取最小值－1．
（4）正负值区间：
（
）
（5）零点：
（
）
）
3．例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1）
； （2）
； （3）
．
解：（1）
，
（2）由
（
）
又∵
，∴
∴定义域为
（
），值域为
．
（3）由
（
），又由
∴
∴定义域为
（
），值域为
指出：求值域应注意用到
或
有界性的条件．
【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时
的集合：
（1）
，
； （2）
，
；
（3）
（4）
．
解：（1）当
，即
（
）时，
取得最大值
∴函数的最大值为2，取最大值时
的集合为
．
（2）当
时，即
（
）时，
．
∴函数的最大值为1，取最大值时
的集合为
．
（3）若
，
，此时函数为常数函数．
若
时，
∴
时，即
（
）时，函数取最大值
，
∴
时函数的最大值为
，取最大值时
的集合为
．
（4）若
，则当
时，函数取得最大值
．
若
，则
若
，当
时，函数取得最大值
．
∴当
时，函数取得最大值
，取得最大值时
的集合为
；当
时，函数取得最大值
，取得最大值时
的集合为
，当
时，函数无最大值．
指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对
或
的系数进行讨论．
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1）
； （2）
．
解：（1）由
，
∴当
时，式子有意义．
5．总结提炼
（1）
，
的定义域均为
．
（2）
、
的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的
集合为无限集．
（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．
（6）单调区间也可以从图上看出．
（五）板书设计
1．定义域
2．值域
3．最值
4．正负区间
5．零点
例1
例2
例3
课堂练习
课后思考题：求函数
的最大值和最小值及取最值时的
集合
提示：
相关分类